11007. Точки A_{1}
, B_{1}
и C_{1}
— середины сторон соответственно BC
, AC
и AB
равностороннего треугольника ABC
. Точки K
и M
лежат на отрезках BA_{1}
и AB_{1}
. Отрезки KB_{1}
и MA_{1}
пересекаются в точке O
. Докажите, что четырёхугольники MOKC_{1}
и A_{1}OB_{1}C
равновелики.
Решение. Проведём отрезки C_{1}B_{1}
и A_{1}B_{1}
. Точки C_{1}
и A_{1}
равноудалены от прямой AC
, поэтому высоты треугольников MC_{1}B_{1}
и MA_{1}B_{1}
равны. Значит, эти треугольники равновелики.
Треугольники B_{1}KC_{1}
и A_{1}CB_{1}
также равновелики, так как равны их основания B_{1}C_{1}
и CA_{1}
(по теореме о средней линии треугольника) и высоты, опущенные из вершин K
и B_{1}
соответственно.
Следовательно, равновелики четырёхугольник MB_{1}KC
и треугольник A_{1}MC
, а так как треугольник MOB_{1}
— их общая часть, то оставшиеся четырёхугольники MOKC_{1}
и A_{1}OB_{1}C
также равновелики.
Примечание. Это рассуждение годится для любого треугольника ABC
.