1101. Биссектрисы, проведённые из вершин A
и B
треугольника ABC
, пересекаются в точке D
. Найдите угол ADB
, если:
1)~\angle A=50^{\circ},~\angle B=100^{\circ};~2)~\angle A=\alpha,~\angle B=\beta;~3)~\angle C=130^{\circ};~4)~\angle C=\gamma.
Ответ. 105^{\circ}
; 180^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)
; 155^{\circ}
; 90^{\circ}+\frac{1}{2}\gamma
.
Решение. 1) \angle A+\angle B=150^{\circ}
, поэтому
\angle DAB+\angle DBA=75^{\circ},
значит,
\angle ADB=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}.
2) Аналогично.
3)
\angle A+\angle B=180^{\circ}-\angle C=50^{\circ},~\angle DAB+\angle DBA=25^{\circ},~\angle ADB=180^{\circ}-25^{\circ}=155^{\circ}.
4)
\angle A+\angle B=180^{\circ}-\gamma,~\angle DAB+\angle DBA=90^{\circ}-\frac{1}{2}\gamma,
\angle ADB=180^{\circ}-90^{\circ}+\frac{1}{2}\gamma=90^{\circ}+\frac{1}{2}\gamma.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 24, с. 49