11011. Вписанная окружность касается сторон AB
, BC
и AC
треугольника ABC
в точках N
, K
и M
соответственно. Прямые MN
и MK
пересекают биссектрису внешнего угла B
в точках R
и S
соответственно. Докажите, что прямые RK
и SN
пересекаются на вписанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть X
— точка пересечения RK
и SN
. Прямые NK
и RS
параллельны, поскольку они перпендикулярны биссектрисе BI
. Угол NMK
равен углу NKB
между касательной и хордой, а последний — углу SBK
по доказанной параллельности. Следовательно, четырёхугольник RBKM
вписанный. Значит, \angle RKM=\angle RBM
. Аналогично, \angle SNM=\angle SBM
. Но углы RBM
и SBM
дают в сумме 180^{\circ}
, значит, и углы XKM
и XNM
— тоже. Следовательно, четырёхугольник NMKX
вписанный. Что и требовалось доказать.
Примечание. Утверждение верно не только для биссектрисы внешнего угла, но и для любой прямой, проходящей через точку B
. Дело в том, что для любой точки X
вписанной окружности точка пересечения прямых MK
и NX
, точка пересечения MN
и KX
и точка B
пересечения касательных в точках K
и N
лежат на одной прямой (это частный случай теоремы Паскаля для вписанной шестизвенной замкнутой ломаной MKKXNN
).