11012. Отрезок AB
— диаметр окружности \Gamma
с центром O
. Отрезок BD
делится точкой C
пересечения с окружностью \Gamma
пополам. Отрезки AC
и DO
пересекаются в точке P
. Докажите, что существует точка E
на отрезке AB
, для которой точка P
лежит на окружности с диаметром AE
при любом выборе точки D
.
Решение. Поскольку AC
и DO
— медианы треугольника ABD
, точка P
— точка пересечения медиан этого треугольника. Точка C
лежит на окружности с диаметром AB
, поэтому \angle ACB=90^{\circ}
.
Через середину F
отрезка AP
проведём перпендикуляр к этому отрезку. Пусть G
— точка его пересечения с отрезком AB
. Тогда точка G
, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку AP
, равноудалена от его концов. На продолжении отрезка AG
за точку G
отложим отрезок GE=GA=GP
. Тогда точка P
лежит на окружности с диаметром AE
, и \angle APE=90^{\circ}
.
Докажем, что точка E
не зависит от выбора точки D
. Действительно, P
— точка медиан треугольника ABD
, поэтому CP=PF=AF
, а так как
\angle AFG=\angle APE=\angle ACB=90^{\circ},
то FG\parallel PE\parallel CP
. Значит, по теореме Фалеса AE=\frac{2}{3}AD
. Следовательно, точка E
не зависит от выбора точки D
. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1987, № 1, задача 20 (1985, с. 38), с. 12