1102. Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.
Указание. Воспользуйтесь одним из признаков параллельности прямых.
Решение. Пусть CD
— биссектриса внешнего угла BCM
, смежного с углом при вершине C
равнобедренного треугольника ABC
. Тогда
\angle BCM=\angle A+\angle B=2\angle B.
Поэтому \angle BCD=\frac{1}{2}\angle BCM=\angle B
.
Углы BCD
и ABC
— накрест лежащие при прямых AB
и CD
и секущей CB
. Поскольку они равны, то прямые AB
и CD
параллельны.
Примечание. Верны также следующие утверждения.
1. Луч с началом в вершине равнобедренного треугольника, параллельный основанию, является биссектрисой внешнего угла при вершине.
2. Если биссектриса внешнего угла при вершине треугольника параллельна противоположной стороне, то треугольник равнобедренный.
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 33, с. 16
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 31, с. 50