11024. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что \angle DAB=\angle DCB=90^{\circ}
и BC=CD
. Докажите, что AC=\frac{AB+AD}{\sqrt{2}}
.
Решение. Обозначим AB=x
, AD=y
, BC=SD=z
. Тогда
x^{2}+y^{2}=BD^{2}=2z^{2},~
S_{ABCD}=S_{\triangle BAD}+S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}xy+\frac{1}{2}z^{2}=\frac{1}{2}(xy+z^{2})=
=\frac{1}{2}\left(xy+\frac{x^{2}+y^{2}}{2}\right)=\frac{1}{4}(x+y)^{2}.
С другой стороны,
S_{ABCD}=S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}AC\cdot x\cos45^{\circ}+\frac{1}{2}AC\cdot y\cos45^{\circ}=\frac{1}{2\sqrt{2}}AC(x+y).
Из равенства
\frac{1}{4}(x+y)^{2}=\frac{1}{2\sqrt{2}}AC(x+y)
получаем, что
AC=\frac{x+y}{\sqrt{2}}=\frac{AB+AD}{\sqrt{2}}.