11029. Чевианы AA'
, BB'
и CC'
треугольника ABC
(прямые, содержащие отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, лежащими на противоположных сторонах или на их продолжениях) пересекаются в точке P
. Описанная окружность треугольника A'B'C'
вторично пересекает прямые BC
, AC
и AB
в точках A''
, B''
и C''
соответственно. Докажите, что прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке.
Решение. По теореме Чевы
\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=1.
Из описанной окружности треугольника A'B'C'
получаем
AC'\cdot AC''=AB'\cdot AB'',~BA'\cdot BA''=BC'\cdot BC'',~CA'\cdot CA''=CB'\cdot CB'',
или
\frac{AB''}{AC''}=\frac{AC'}{AB'},~\frac{BC''}{BA''}=\frac{BA'}{BC'},~\frac{CA''}{CB''}=\frac{CB'}{CA'}.
Перемножив эти три равенства, получаем, что
\frac{AB''}{AC''}\cdot\frac{BC''}{BA''}\cdot\frac{CA''}{CB''}=\frac{AC'}{AB'}\cdot\frac{BA'}{BC'}\cdot\frac{CB'}{CA'},
или
\frac{AB''}{B''C}\cdot\frac{CA''}{A''B}\cdot\frac{BC''}{C''A}=\frac{AC'}{C'B}\cdot\frac{BA'}{A'C}\cdot\frac{CB'}{B'A}=1.
Следовательно, по теореме Чевы прямые AA''
, BB''
и CC''
пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 8, задача 1042, с. 219