11033. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=20^{\circ}
, \angle C=30^{\circ}
. Точка K
лежит внутри треугольника, при этом \angle KAC=\angle KCA=10^{\circ}
. Найдите угол BKC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. По теореме о сумме углов треугольника
\angle ABC=180^{\circ}-20^{\circ}-30^{\circ}=130^{\circ},~
\angle AKC=180^{\circ}-2\cdot\angle KAC=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}.
Пусть O
— центр описанной окружности треугольника ABC
. Тогда центральный угол AOB
вдвое больше вписанного угла ACB
, равного 30^{\circ}
, т. е. в равнобедренном треугольнике AOB
есть угол, равный 60^{\circ}
. Значит, этот треугольник равносторонний. Тогда
\angle KAO=\angle BAO-\angle BAK=\angle BAO-(\angle BAC-\angle KAC)=
=60^{\circ}-(20^{\circ}-10^{\circ})=50^{\circ}.
Треугольники AKC
и AOC
равнобедренные, KA=KC
и OA=OC
, поэтому точки K
и O
равноудалены от концов отрезка AC
, значит, BO
— серединный перпендикуляр к этому отрезку. Тогда OK
— биссектриса угла AOC
, а KO
— биссектриса угла AKC
, следовательно,
\angle CKO=\frac{1}{2}\angle AKC=\frac{1}{2}\cdot160^{\circ}=80^{\circ},
\angle AOK=\frac{1}{2}\angle AOC=\frac{1}{2}\smile ABC=\frac{1}{2}(360^{\circ}-260^{\circ})=50^{\circ}=\angle KAO.
Значит, треугольник AKO
равнобедренный, и его высота KH
является биссектрисой. Тогда
\angle OKH=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOK)=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}.
Следовательно,
\angle BKC=180^{\circ}-\angle CKO-\angle OKH=180^{\circ}-80^{\circ}-40^{\circ}=60^{\circ}.
Примечание. См. также статью Д.Изаака «Выручает описанная окружность», Квант, 1987, N2, с.41-42.