11035. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=84^{\circ}
, \angle C=78^{\circ}
. Точки D
и E
выбраны на сторонах AB
и BC
соответственно, причём \angle ACD=48^{\circ}
, \angle CAE=63^{\circ}
. Найдите угол CDE
.
Ответ. 81^{\circ}
.
Решение. По теореме о сумме углов треугольника
\angle ABC=180^{\circ}-78^{\circ}-84^{\circ}=18^{\circ},~
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\angle ABC+\angle BCD=\angle ABC+(\angle ACB-\angle ACD)=
=18^{\circ}+(78^{\circ}-48^{\circ})=18^{\circ}+30^{\circ}=48^{\circ}=\angle ACD,
Значит, треугольник ACD
равнобедренный, AC=AD
.
Опишем окружность около треугольника CDE
. Пусть O
— её центр. Треугольник COD
равнобедренный, OC=OD
. Таким образом, точки A
и O
равноудалены от концов отрезка CD
, значит, AO
— серединный перпендикуляр к этому отрезку.
Поскольку треугольник ABC
остроугольный, центр O
описанной окружности расположен внутри треугольника. Центральный угол DOE
вдвое больше вписанного угла DCE
, равного 30^{\circ}
, значит, равнобедренный треугольник DOE
— равносторонний, поэтому ED=EO
.
Из треугольника ACE
находим, что
\angle AEC=180^{\circ}-\angle ACE-\angle CAE=180^{\circ}-78^{\circ}-63^{\circ}=39^{\circ}.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle BAE=\angle AEC-\angle ABE=39^{\circ}-18^{\circ}=21^{\circ},
а так как AO
серединный перпендикуляр к отрезку CD
, то
\angle DAO=\frac{1}{2}\angle CAD=\frac{1}{2}\cdot84^{\circ}=42^{\circ},
поэтому луч AO
— биссектриса угла DAO
.
В треугольниках AOE
и ADE
стороны OE
и BE
, сторона AE
— общая, а также равны углы, противолежащие равным сторонам OE
и BE
. Значит, по «четвёртому признаку равенства треугольников» либо эти треугольники равны, либо сумма углов, противолежащих общей стороне AE
равна 180^{\circ}
. Последнее невозможно, так как в этом случае сумма углов четырёхугольника ADEO
была бы меньше 360^{\circ}
(60^{\circ}+42^{\circ}+180^{\circ}\lt360^{\circ}
). Значит, треугольники AOE
и ADE
равны. Тогда AD=AO
, а так как ED=EO
, то AE
— серединный перпендикуляр к отрезку DO
.
Таким образом, углы CDO
и OAE
равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами, следовательно,
\angle CDE=\angle CDO+\angle ODE=21^{\circ}+60^{\circ}=81^{\circ}.
Примечание. 1. См. статью Д.Изаака «Выручает описанная окружность», Квант, 1987, N2, с.41-42.
2. См. статью А.Егорова «Четвёртый признак равенства треугольников», Квант, 2004, N5, с.41.