11036. Четырёхугольник ABCD
вписан в окружность радиуса R
и описан вокруг другой окружности, которая касается сторон четырёхугольника в точках K
, L
, M
, N
. Найдите площадь четырёхугольника ABCD
, если известно, что она в три раза больше площади четырёхугольника KLMN
, а угол между диагоналями AC
и BD
равен \gamma
.
Ответ. \frac{4R^{2}\sin\gamma}{3}
.
Решение. Пусть точки K
, L
, M
и N
лежат на сторонах соответственно AB
, BC
, CD
и AD
четырёхугольника ABCD
, I
— центр вписанной окружности четырёхугольника KLMN
, r
— её радиус, S
— площадь четырёхугольника ABCD
. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
. Тогда
\angle NIK=180^{\circ}-\alpha=\angle BCD,~\angle MIL=\alpha,
\angle KIL=180^{\circ}-\beta=\angle ADC,~\angle NIM=\beta,
S_{CLIM}=S_{ANIK}=r^{2}\sin\alpha,~S_{DMIN}=S_{BKIL}=r^{2}\sin\alpha,
\frac{1}{3}S=S_{KLMN}=S_{CLIM}+S_{ANIK}+S_{DMIN}+S_{BKIL}=r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta).
Окружность радиуса r
вписана в четырёхугольник ABCD
, поэтому
BC+AD=AB+CD,~2S=(AB+BC+CD+AD)r=2(AB+CD)r,
а так как
AB=AK+KB=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}\right),~CD=CM+MD=r\left(\tg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\right),
то
AB+CD=r\left(\ctg\frac{\alpha}{2}+\tg\frac{\alpha}{2}+\ctg\frac{\beta}{2}+\tg\frac{\beta}{2}\right)=r\left(\frac{2}{\sin\alpha}+\frac{2}{\sin\beta}\right).
Значит,
S=(AB+CD)r=r^{2}\left(\frac{2}{\sin\alpha}+\frac{2}{\sin\beta}\right)=\frac{2r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta)}{\sin\alpha\sin\beta},
а так как по ранее доказанному S=3r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta)
, то
\frac{2r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}=3r^{2}(\sin\alpha+\sin\beta),
откуда получаем, что \sin\alpha\sin\beta=\frac{2}{3}
.
По теореме синусов BD=2R\sin\alpha
и AC=2R\sin\beta
, следовательно,
S=\frac{1}{2}BD\cdot AC\sin\gamma=\frac{1}{2}\cdot2R\sin\alpha\cdot2R\sin\beta\cdot\sin\gamma=2R^{2}\cdot\frac{2}{3}\sin\gamma=\frac{4R^{2}\sin\gamma}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1971, № 5, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 4, с. 48, упражнение 4