11041. (Гармоническая формула биссектрисы.) Пусть AL
— биссектриса треугольника ABC
, I
— центр вписанной окружности, I_{a}
— центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC
. Докажите, что AL=\frac{2AI\cdot AI_{a}}{AI+AI_{a}}
.
Решение. Обозначим радиус вписанной окружности через r
, радиус вневписанной окружности треугольника ABC
, касающейся стороны BC
, — r_{a}
, полупериметр треугольника через p
. Пусть вписанная и рассматриваемая вневписанная окружности касаются прямой AC
в точках K
и M
соответственно, а стороны BC
— в точках P
и Q
соответственно.
Из подобия прямоугольных треугольников AKI
и AMI_{a}
получаем, что \frac{AI}{AI_{a}}=\frac{IK}{I_{a}M}=\frac{r}{r_{a}}
, а из подобия прямоугольных треугольников IPL
и I_{a}QL
— \frac{IL}{I_{a}L}=\frac{IP}{I_{a}Q}=\frac{r}{r_{a}}
. Значит, \frac{AI}{AI_{a}}=\frac{IL}{I_{a}L}
, или
\frac{AI}{AI_{a}}=\frac{AL-AI}{AI_{a}-AL}~\Rightarrow~AI\cdot AI_{a}-AI\cdot AL=AL\cdot AI_{a}-AI\cdot AI_{a}~\Rightarrow~
~\Rightarrow~AL(AI+AI_{a})=2AI\cdot AI_{a}~\Rightarrow~AL=\frac{2AI\cdot AI_{a}}{AI+AI_{a}}.
Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Классические средние в треугольнике», Квант, 2013, N2, с.32-33.