11042. Концы отличной от диаметра хорды ST
полуокружности с диаметром AB
, перемещается по дуге полуокружности, M
— середина ST
, а P
— проекция точки S
на прямую AB
. Докажите, что угол SPM
не зависит от положения хорды ST
.
Решение. Пусть O
— центр полуокружности. Тогда \angle OMS=90^{\circ}
(см. задачу 1677). Из точек M
и P
отрезок OS
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OS
. Вписанные в эту окружность углы SPM
и SOM
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle SPM=\angle SOM=\frac{1}{2}\angle SOT.
Следовательно, угол SPM
не зависит от положения хорды ST
. Что и требовалось доказать
Источник: Канадские математические олимпиады. — 1986
Источник: Журнал «Crux Mathematicorum». — 1986, № 7, задача 3, с. 175