11045. Теорема Матье. Пусть AP
и AQ
— изогонали относительно угла BAC
, P_{1}
и Q_{1}
— их проекции на прямую AB
, P_{2}
и Q_{2}
— на прямую AC
. Докажите, что PP_{1}\cdot QQ_{1}=PP_{2}\cdot QQ_{2}
.
Решение. Поскольку \angle P_{1}AP=\angle Q_{2}AQ
, прямоугольные треугольники P_{1}AP
и Q_{2}AQ
подобны, а так как \angle Q_{1}AQ=\angle P_{2}AP
, то подобны прямоугольные треугольники Q_{1}AQ
и P_{2}AP
. Значит,
\frac{PP_{1}}{QQ_{2}}=\frac{AP}{AQ},~~\frac{PP_{2}}{QQ_{1}}=\frac{AP}{AQ},
поэтому \frac{PP_{1}}{QQ_{2}}=\frac{PP_{2}}{QQ_{1}}
. Следовательно, PP_{1}\cdot QQ_{1}=PP_{2}\cdot QQ_{2}
.
Примечание. Верно и обратное: если расстояния от точек P
и Q
от сторон угла BAC
удовлетворяют этому равенству, то AP
и AQ
изогонали относительно этого угла.