1105. В треугольнике ABC
медиана BD
равна половине стороны AC
. Найдите угол B
треугольника.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Медиана BD
разбивает данный треугольник на два равнобедренных треугольника.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle C=\beta
. Поскольку AD=BD
и CD=BD
, то
\angle ABD=\alpha,~\angle DBC=\beta,
а так как сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, то 2\alpha+2\beta=180^{\circ}
. Следовательно,
\angle B=\alpha+\beta=90^{\circ}.
Второй способ. Окружность с центром в точке D
и радиусом BD
проходит через точки A
и C
, AC
— её диаметр. Следовательно, \angle B=90^{\circ}
.
Источник: Погорелов А. В. Геометрия: Учебное пособие для 7—11 кл. средней школы. — 8-е изд. — М.: Просвещение, 1989. — № 39, с. 50
Источник: Рыбкин Н. А. Сборник задач по геометрии. — Ч. 1: Планиметрия. — М.: Учпедгиз, 1961. — № 43, с. 17
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 5.19, с. 103