1105. В треугольнике ABC
медиана BD
равна половине стороны AC
. Найдите угол B
треугольника.
Ответ. 90^{\circ}
.
Указание. Медиана BD
разбивает данный треугольник на два равнобедренных треугольника.
Решение. Первый способ. Обозначим \angle A=\alpha
, \angle C=\beta
. Поскольку AD=BD
и CD=BD
, то
\angle ABD=\alpha,~\angle DBC=\beta,
а так как сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, то 2\alpha+2\beta=180^{\circ}
. Следовательно,
\angle B=\alpha+\beta=90^{\circ}.
Второй способ. Окружность с центром в точке D
и радиусом BD
проходит через точки A
и C
, AC
— её диаметр. Следовательно, \angle B=90^{\circ}
.