11057. В остроугольном треугольнике ABC
высоты AA_{1}
, BB_{1}
и CC_{1}
пересекаются в точке H
. Из точки H
провели перпендикуляры к прямым B_{1}C_{1}
и A_{1}C_{1}
, продолжения которых пересекли лучи CA
и CB
в точках P
и Q
соответственно. Докажите, что продолжение перпендикуляра, опущенного из точки C
на прямую A_{1}B_{1}
, проходит через середину отрезка PQ
.
Указание. Используя результат задачи 11053, докажите, что луч CH
содержит симедиану треугольника PCQ
.
Решение. Отрезок A_{1}B_{1}
антипараллелен AB
относительно угла ACB
, поэтому перпендикуляр из точки C
на прямую A_{1}B_{1}
и высота CC_{1}
симметричны относительно биссектрисы угла C
. Значит, достаточно доказать, что луч CH
содержит симедиану треугольника PCQ
. Тогда прямая, изогональная прямой CH
, будет содержать медиану треугольника PCQ
, проведённую из вершины C
.
Точки B_{1}
и C_{1}
лежат на окружности с диаметром BC
, а высота прямоугольного треугольника PB_{1}H
, проведённая из вершины B_{1}
прямого угла, лежит на прямой B_{1}C_{1}
, значит,
\angle QCH=\angle BCH=\angle BB_{1}C_{1}=\angle CPH.
Аналогично, \angle PCH=\angle CQH
. Следовательно, луч CH
содержит симедиану треугольника PCQ
(см. задачу 11053). Что и требовалось доказать.
Примечание. См. статью Ю.Блинкова «Симедиана», Квант, 2015, N4, с.35-39.
Источник: Журнал «Квант». — 2015, № 4, с. 38, задача 7
Источник: Всероссийская олимпиада по геометрии. — 2013