1106. В треугольнике с неравными сторонами AB
и AC
проведены высота AH
и биссектриса AD
. Докажите, что угол HAD
равен модулю полуразности углов B
и C
.
Указание. Примените теорему о сумме углов треугольника.
Решение. Пусть AC\gt AB
. Тогда луч AH
проходит между сторонами угла BAD
. Поэтому
\angle HAD=\angle BAD-\angle BAH=\frac{1}{2}\angle BAC-(90^{\circ}-\angle B)=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B-\angle C)-(90^{\circ}-\angle B)=\frac{\angle B-\angle C}{2}.
Если угол AC\lt AB
, то аналогично \angle HAD=\frac{\angle C-\angle B}{2}
.