11064. Пусть точка F
лежит на описанной окружности треугольника ABC
, X
— точка на стороне BC
. Прямые AX
и AF
изогональны относительно угла BAC
. Точки M
и N
— проекции точки X
на стороны AC
и AB
. Докажите, что S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AF\cdot MN
.
Указание. Докажите подобие треугольников ABX
и AFC
. Выразите MN
по теореме синусов через AX
.
Решение. Лучи AX
и AF
изогональны, поэтому \angle BAX=\angle FAC
, а так как вписанные углы ABC
и ACF
опираются на одну и ту же дугу, то
\angle ABX=\angle ABC=\angle AFC.
Значит, треугольники ABX
и AFC
подобны по двум углам. Тогда \frac{AB}{AF}=\frac{AX}{AC}
, или AB\cdot AC=AF\cdot AX
. Кроме того, из точек M
и N
отрезок AX
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AX
. Тогда по теореме синусов
MN=AX\sin\angle MAN=AX\sin\angle BAC.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AF\cdot AX\sin\angle BAC=\frac{1}{2}AF\cdot MN.
Примечание. См. статью И.А.Кушнира «Метод изогональных прямых», Квант, 2010, N6, с.35-36.