11067. Докажите, что сумма квадратов расстояний от точки X
, лежащей на стороне треугольника, до прямых, содержащих две другие стороны, минимальна, если X
совпадает с основанием симедианы треугольника.
Решение. Пусть точка X
лежит на стороне BC
треугольника ABC
, а x
и y
— расстояния от точки X
до прямых AB
и AC
соответственно. Тогда, если AB=c
, AC=b
, а S_{\triangle ABC}=S
, то
S_{\triangle CAX}+S_{\triangle BAX}=S_{\triangle ABC},~\mbox{или}~bx+cy=2S,
откуда y=\frac{2S-bx}{c}
. Значит,
x^{2}+y^{2}=x^{2}+\left(\frac{2S-bx}{c}\right)^{2}=\frac{1}{c^{2}}\left((b^{2}+c^{2})x^{2}-4Sbx+4S^{2}\right).
Полученное выражение достигает минимального значения (при постоянных b
, c
и S
), если
x=\frac{4Sb}{2(b^{2}+c^{2})}=\frac{2Sb}{b^{2}+c^{2}}
(в абсциссе вершины соответствующей параболы). Тогда
y=\frac{2S-bx}{c}=\frac{2Sc}{b^{2}+c^{2}}.
Тогда \frac{x}{y}=\frac{b}{c}
. Следовательно, в этом случае AX
— симедиана треугольника ABC
(см. задачу 11049).