11072. В трапеции ABCD
с основаниями AB
и CD
биссектриса угла B
перпендикулярна боковой стороне AD
и пересекает её в точке E
. В каком отношении прямая BE
делит площадь трапеции, если AE=2DE
?
Ответ. 7:8
.
Решение. Пусть продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке F
. Биссектриса DE
треугольника ABF
является его высотой, значит, треугольник ABF
равнобедренный, AB=BF
. Тогда BE
— медиана этого треугольника, поэтому EF=AE
, а так как DE=\frac{1}{2}AE
, то FD=\frac{1}{4}FA
.
Пусть S_{\triangle ABF}=2S
. Треугольник DFC
подобен треугольнику AFB
с коэффициентом \frac{FD}{FA}=\frac{1}{4}
, поэтому
S_{\triangle DFC}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}S_{\triangle AFB}=\frac{1}{16}\cdot2S=\frac{1}{8}S.
Тогда
S_{BEDC}=S_{\triangle BFE}-S_{\triangle DFC}=S-\frac{1}{8}S=\frac{7}{8}S.
Следовательно,
\frac{S_{BEDC}}{S_{\triangle ABE}}=\frac{\frac{7}{8}S}{S}=\frac{7}{8}.