11076. Докажите, что радиус окружности, касающейся сторон AB
и AC
треугольника ABC
и касающейся внутренним образом описанной окружности этого треугольника (полувписанная окружность), равен \frac{r}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}
, где r
— радиус вписанной окружности треугольника, а \alpha=\angle BAC
.
Решение. Пусть I_{1}
— центр окружности S
искомого радиуса r_{1}
, O
— центр описанной окружности треугольника ABC
, R
— её радиус, \beta
и \gamma
— углы при вершинах B
и C
соответственно, P
— точка касания окружности S
со стороной AB
.
Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (треугольник остроугольный и AB\lt AC
). Окружность S
касается описанной окружности треугольника ABC
внутренним образом, поэтому OI_{1}=R-r_{1}
, а так как AI_{1}
— биссектриса угла BAC
, то
AI_{1}=\frac{I_{1}P}{\sin\frac{\angle BAC}{2}}=\frac{r_{1}}{\sin\frac{\alpha}{2}}.
Кроме того,
\angle OAI_{1}=\angle CAI_{1}-\angle CAO=\angle CAI_{1}-\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle AOC)=
=\frac{\alpha}{2}-90^{\circ}+\beta=\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}-\frac{\gamma}{2}\right)-90^{\circ}+\beta=\frac{\beta-\gamma}{2}.
По теореме косинусов из треугольника OAI_{1}
получаем, что
OI_{1}^{2}=OA^{2}+AI_{1}^{2}-2OA\cdot AI_{1}\cos\angle OAI_{1},~\mbox{или}
(R-r_{1})^{2}=R^{2}+\frac{r_{1}^{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-\frac{2Rr_{1}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\cos\frac{\beta-\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~R^{2}-2Rr_{1}-r_{1}^{2}=R^{2}+\frac{r_{1}^{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-\frac{2Rr_{1}}{\sin\frac{\alpha}{2}}\cdot\cos\frac{\beta-\gamma}{2}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~\frac{r_{1}^{2}}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}-r_{1}^{2}=2Rr_{1}\left(\frac{\cos\frac{\beta-\gamma}{2}}{\sin\frac{\alpha}{2}}-1\right)~\Leftrightarrow~
~\Leftrightarrow~\frac{r_{1}^{2}\left(1-\sin^{2}\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin^{2}\frac{\alpha}{2}}=\frac{2Rr_{1}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\sin\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\frac{\alpha}{2}}~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~r_{1}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=2R\sin\frac{\alpha}{2}\left(\cos\frac{\beta-\gamma}{2}-\cos\frac{\beta+\gamma}{2}\right)~\Leftrightarrow~
\Leftrightarrow~r_{1}\cos^{2}\frac{\alpha}{2}=4R\sin\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\gamma}{2}=r
(см. задачу 3225а). Следовательно, r_{1}=\frac{r}{\cos^{2}\frac{\alpha}{2}}
.
Примечание. См. статью А.Гирича «Несколько задач о треугольниках и окружностях», Квант, 1990, N11, с.46-48.