11087. Каждая сторона выпуклого четырёхугольника не более 7. Докажите, что для любой точки внутри четырёхугольника найдётся вершина, расстояние от которой до этой точки не меньше 5.
Решение. Предположим, что внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
найдётся точка X
, удалённая от каждой вершины на расстояние, большее 5. По крайней мере один углов AXB
, BXC
, CXD
и AXD
не меньше 90^{\circ}
. Пусть это угол AXB
. Тогда \cos\angle AXB\leqslant0
. По теореме косинусов
\frac{XA^{2}+XB^{2}-AB^{2}}{2XA\cdot XB}=\cos\angle AXB\leqslant0.
Значит,
AB^{2}\geqslant XA^{2}+XB^{2}\gt25+25=50\gt49.
Следовательно, AB\gt7
, что противоречит условию задачи.