11088. На диагонали BD
квадрата ABCD
отметили точку E
. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры описанных окружностей треугольников ABE
и ADE
соответственно. Докажите, что четырёхугольник AO_{1}EO_{2}
— квадрат.
Решение. Центральный угол AO_{1}E
описанной окружности треугольника ABE
вдвое больше вписанного угла ABE
, значит,
\angle AO_{1}E=2\angle ABE=2\cdot45^{\circ}=90^{\circ}.
При этом O_{1}A=O_{1}E
как радиусы одной окружности, а так как треугольник AO_{1}E
прямоугольный и равнобедренный, то \angle O_{1}AE=45^{\circ}
.
Аналогично,
\angle AO_{2}E=2\angle ADE=90^{\circ},~O_{2}A=O_{2}E,~\angle O_{2}AE=45^{\circ}.
Кроме того,
\angle O_{1}AO_{2}=\angle O_{1}AE+\angle O_{2}OE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}.
Тогда и \angle O_{1}EO_{2}=90^{\circ}
. Значит, AO_{1}EO_{2}
— прямоугольник, а так как O_{1}A=O_{1}E
— это квадрат.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 3.40, с. 29