11097. При инверсии относительно окружности S
с центром O
точки A
и B
окружности T
переходят друг в друга. Докажите, что при этой инверсии окружность T
переходит в себя.
Решение. Центр O
инверсии лежит на прямой AB
. Эта прямая переходит в себя и OA\cdot OB=R^{2}
, где R
— радиус окружности S
. Пусть прямая, проходящая через точку O
, касается окружности T
в точке D
. По теореме о касательной и секущей OA\cdot OB=OD^{2}
, значит, OD=R
.
Проведём произвольную секущую OKL
к окружности T
. Тогда OK\cdot OL=OD^{2}=R^{2}
, поэтому точки K
и L
, лежащие на окружности T
, при рассматриваемой инверсии переходят друг в друга. Следовательно, окружность T
переходит в себя.
Примечание. См. статью В.Уроева «Инверсия», Квант, 1984, N5, с.26-32.