11098. Докажите, что:
а) для любых положительных чисел a
, b
и c
верно неравенство
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}};
б) это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда
\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.
Решение. а) Рассмотрим отрезок OB=b
. По разные стороны от прямой OB
отложим от луча OB
лучи под углом 60^{\circ}
к лучу OB
. На этих лучах отложим отрезки OA=a
и OC=c
. По теореме косинусов
AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}.
BC=\sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc\cos60^{\circ}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc},
AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos120^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}.
Если точки A
, B
и C
лежат на одной прямой, то AB+BC=AC
, или
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}.
В противном случае по неравенству треугольника AB+BC\gt AC
, или
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\gt\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}.
б) Равенство возникает тогда и только тогда, когда точка B
попадает на отрезок AC
, или, что равносильно, когда площадь треугольника AOC
равна сумме площадей треугольников AOB
и BOC
, т. е.
\frac{1}{2}ac\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}(ab+bc)\sin60^{\circ}.
Разделив обе части этого равенства на \frac{abc\sqrt{3}}{4}
, получим доказываемое условие
\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.
Автор: Дейкало Ю. В.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 2.63, с. 22
Источник: Журнал «Квант». — 1988, № 2, с. 26, М1090; 1988, № 6, с. 30, М1090
Источник: Задачник «Кванта». — 1988, № 2, с. 26, М1090