11098. Докажите, что:
а) для любых положительных чисел
a
,
b
и
c
верно неравенство
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\geqslant\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}};

б) это неравенство обращается в равенство тогда и только тогда, когда
\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.

Решение. а) Рассмотрим отрезок
OB=b
. По разные стороны от прямой
OB
отложим от луча
OB
лучи под углом
60^{\circ}
к лучу
OB
. На этих лучах отложим отрезки
OA=a
и
OC=c
. По теореме косинусов
AB=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cos60^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2ab\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-ab}.

BC=\sqrt{b^{2}+c^{2}-2bc\cos60^{\circ}}=\sqrt{b^{2}+c^{2}-bc},

AC=\sqrt{a^{2}+c^{2}-2ac\cos120^{\circ}}=\sqrt{a^{2}+c^{2}+ac}.

Если точки
A
,
B
и
C
лежат на одной прямой, то
AB+BC=AC
, или
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}=\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}.

В противном случае по неравенству треугольника
AB+BC\gt AC
, или
\sqrt{a^{2}-ab+b^{2}}+\sqrt{b^{2}-bc+c^{2}}\gt\sqrt{a^{2}+ac+c^{2}}.

б) Равенство возникает тогда и только тогда, когда точка
B
попадает на отрезок
AC
, или, что равносильно, когда площадь треугольника
AOC
равна сумме площадей треугольников
AOB
и
BOC
, т. е.
\frac{1}{2}ac\sin120^{\circ}=\frac{1}{2}(ab+bc)\sin60^{\circ}.

Разделив обе части этого равенства на
\frac{abc\sqrt{3}}{4}
, получим доказываемое условие
\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{1}{b}.