11099. Пусть h_{a}
, h_{b}
и h_{c}
— высоты треугольника площади S
, опущенные на стороны, равные a
, b
и c
соответственно. Докажите, что
S=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}}\right)\left(\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{a}}\right)}}.
Решение. Из равенств
S=\frac{1}{2}ah_{a},~S=\frac{1}{2}bh_{b},~S=\frac{1}{2}ch_{c}
получаем, что
a=\frac{2S}{h_{a}},~b=\frac{2S}{h_{b}},~c=\frac{2S}{h_{c}}.
Тогда по формуле Герона
S=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\cdot\frac{a+b-c}{2}\cdot\frac{a+c-b}{2}\cdot\frac{b+c-a}{2}}=
=S^{2}\sqrt{\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}}\right)\left(\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{a}}\right)},
откуда
S=\frac{1}{\sqrt{\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}}-\frac{1}{h_{c}}\right)\left(\frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{b}}\right)\left(\frac{1}{h_{b}}+\frac{1}{h_{c}}-\frac{1}{h_{a}}\right)}}.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 5.27, с. 45