1110. Прямая, параллельная основаниям трапеции, разбивает её на две подобные трапеции. Найдите отрезок этой прямой, заключённый внутри трапеции, если основания равны a
и b
.
Ответ. \sqrt{ab}
.
Решение. Пусть прямая, параллельная основаниям AD=a
и BC=b
трапеции ABCD
, пересекает боковые стороны AB
и CD
в точках M
и N
соответственно, причём трапеции MBCN
и AMND
подобны. Тогда \frac{BC}{MN}=\frac{MN}{AD}
, откуда
MN^{2}=AD\cdot BC=ab.
Следовательно, MN=\sqrt{ab}
.
Примечание. Можно доказать, что отрезок, параллельный основанию трапеции и имеющий такую длину, действительно делит трапецию на две подобные.