11107. В четырёхугольнике ABCD
диагонали AC
и BD
перпендикулярны и пересекаются в точке O
. Известно, что OB=OC=1
, OA=2
, OD=3
. Найдите угол между прямыми AB
и DC
.
Ответ. 45^{\circ}
.
Решение. Пусть угол между прямыми AB
и DC
равен \varphi
. Тогда
\cos\varphi=\left|\frac{\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{DC}|}\right|=\left|\frac{(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})(\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{OC})}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{DC}|}\right|=\left|\frac{\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{DO}}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{DC}|}\right|,
так как \overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{DO}=\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=0
. Кроме того,
|\overrightarrow{AB}|=AB=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5},~|\overrightarrow{DC}|=DC=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},~
\overrightarrow{AO}\cdot\overrightarrow{OC}=|\overrightarrow{AO}|\cdot|\overrightarrow{OC}|\cos0^{\circ}=2\cdot1=2,
\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{DO}=|\overrightarrow{OB}|\cdot|\overrightarrow{DO}|\cos0^{\circ}=1\cdot3=3,
поэтому
\cos\varphi=\left|\frac{2+3}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}}\right|=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Следовательно, \cos\varphi=45^{\circ}
.