11109. Внутри равностороннего треугольника ABC
выбрали такую точку M
, что \angle AMB=120^{\circ}
, MA=1
, MB=2
. Найдите MC
.
Ответ. \sqrt{3}
Решение. При повороте вокруг вершины A
, переводящем вершину C
в B
, точка M
переходит в некоторую точку M_{1}
, а отрезок CM
— в отрезок BM_{1}
. При этом треугольник AMM_{1}
равносторонний, поэтому MM_{1}=AM=1
. Кроме того,
\angle BMM_{1}=\angle AMB-\angle AMM_{1}=120^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.
Следовательно,
CM=BM_{1}=\sqrt{MM_{1}^{2}+MB^{2}-2MM_{1}\cdot MB\cos60^{\circ}}=\sqrt{1+4-2\cdot1\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{3}.