11115. В равнобокой трапеции ABCD
на боковых сторонах AB
и AD
отметили точки K
и M
соответственно, причём AK=CM
. Меньшее основание BC
трапеции равно боковой стороне, а острый угол трапеции равен 60^{\circ}
. Найдите угол KOM
, где O
— середина AD
.
Ответ. 120^{\circ}
.
Решение. Поскольку BC=AB
, треугольник ABC
равнобедренный, поэтому
\angle BAC=\angle BCA=\angle CAD.
значит, AC
— биссектриса угла BAD
. Тогда
\angle CAD=\frac{1}{2}\angle BAD=30^{\circ},~\angle ACD=180^{\circ}-\angle CAD-\angle ADC=90^{\circ}.
Катет CD
прямоугольного треугольника ACD
, лежащий против угла в 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы, следовательно, AD=2BC
, и треугольники COD
, BOC
и AOB
равносторонние. Тогда
\angle DOB=\angle COD+\angle BOC=120^{\circ},
значит, при повороте вокруг точки O
на угол 120^{\circ}
точка D
переходит в B
, точка C
— в A
, отрезок DC
— в отрезок AB
, а так как AK=CM
, то точка M
переходит в точку K
. Следовательно, \angle KOM=120^{\circ}
.