11120. Стороны выпуклого пятиугольника ABCDE
равны. Известно, что \angle ACE=\frac{1}{2}\angle BCD
. Найдите \angle ACE
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Докажите, что образы точек B
и D
при симметриях относительно прямых соответственно AC
и CE
совпадают с центром описанной окружности треугольника ACE
.
Решение. Заметим, что
\angle ACB+\angle DCE=\frac{1}{2}\angle BCD.
Пусть O'
— образ точки B
при симметрии относительно прямой AC
, а O''
— образ точки D
при симметрии относительно прямой AE
. Тогда
CO''=CD=BC=CO',
\frac{1}{2}\angle BCD=\angle ACE=\angle ACO'+\angle DCO''\pm\angle O'CO''=
=\angle ACB+\angle DCE\pm\angle O'CO''=\frac{1}{2}\angle BCD+\angle O'CO'',
т. е.
\frac{1}{2}\angle BCD=\frac{1}{2}\angle BCD+\angle O'CO'',
откуда \angle O'CO''=0^{\circ}
, поэтому отрезки CO'
и CO''
, а значит, и точки O'
и O''
, совпадают. Кроме того,
BA=BC~\mbox{и}~O'A=BA=BC=O'C,
поэтому O'
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
. Аналогично, точка O''
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку CE
. Следовательно, точки O'
и O''
совпадают с центром O
описанной окружности треугольника ACE
. Тогда
OA=OE=DE=AE,
поэтому треугольник AOE
равносторонний. Значит, центральный угол AOE
равен 60^{\circ}
, а вписанный угол ACE
равен 30^{\circ}
.