11121. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
угол BAD
равен 60^{\circ}
. Известно, что точки, симметричные точке A
относительно прямых CB
и CD
, лежат на прямой BD
. Найдите угол BCD
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Указание. Докажите, что точка C
— центр вневписанной окружности треугольника ABD
, касающейся стороны BD
и продолжений двух других сторон.
Решение. Пусть точка A'
, симметричная точке A
относительно прямой BC
, лежит на прямой BD
. Тогда прямая BC
содержит биссектрису одного из углов, образованных пересечением прямых AB
и BD
. Аналогично, прямая CD
содержит биссектрису угла, образованного пересечением прямых AD
и BD
. Значит, C
— либо центр вписанной, либо центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABD
, а так как четырёхугольник ABCD
выпуклый, то C
— центр вневписанной окружности треугольника ABD
. Из выпуклости четырёхугольника ABCD
также следует, что точка C
— центр вневписанной окружности треугольника ABD
, касающейся стороны BD
(а не AB
или AD
) и продолжений двух других сторон.
Таким образом, вершина C
данного четырёхугольника — это точка пересечения биссектрис внешних угол при вершинах B
и D
треугольника ABD
. Следовательно (см. задачу 4770),
\angle BCD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BAD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=60^{\circ}.