11124. Нарисован правильный шестиугольник, сторона которого равна 1. Пользуясь только линейкой, постройте отрезок длиной \sqrt{7}
.
Решение. Пусть ABCDEF
— данный правильный шестиугольник со стороной 1, K
— точка пересечения прямых CD
и EF
. Тогда треугольник DKE
равносторонний, поэтому
KF=KE+EF=DE+EF=1+1=2,
а так как \angle AFK=120^{\circ}
, то по теореме косинусов
AK=\sqrt{AF^{2}+KF^{2}-2AF\cdot KF\cos120^{\circ}}=\sqrt{1+4+2\cdot1\cdot2\cdot\frac{1}{2}}=\sqrt{7}.
Следовательно, искомый отрезок — это отрезок KA
.