11125. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы BB_{1}
и CC_{1}
. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB_{1}
и ACC_{1}
пересекаются на стороне BC
, то \angle A=60^{\circ}
.
Решение. Обозначим углы при вершинах A
, B
и C
данного треугольника через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. Пусть описанные окружности треугольников ABB_{1}
и ACC_{1}
пересекаются в точке X
, лежащей на стороне BC
.
Вписанные в первую из этих окружностей углы B_{1}AX
и B_{1}BX
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle CAX=\angle B_{1}AX=\angle B_{1}BX=\angle B_{1}BC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{\beta}{2}.
Аналогично,
\angle BAX=\frac{1}{2}\angle ACB=\frac{\gamma}{2}.
Значит,
\alpha=\angle BAC=\frac{\beta}{2}+\frac{\gamma}{2}=\frac{1}{2}(\beta+\gamma)=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\alpha).
Отсюда получаем, что \alpha=60^{\circ}
.