11130. На катетах AC
и BC
и гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отметили соответственно такие точки M
, N
и K
, что треугольник MNK
равносторонний. Потом весь рисунок стёрли, оставив только точки A
, K
и B
. Как с помощью циркуля и линейки по эти точкам восстановить треугольник ABC
?
Решение. Пусть искомый треугольник ABC
построен. Рассмотрим равносторонний треугольник ABC'
с вершиной C'
, лежащей с точкой C
по разные стороны от прямой AB
. Стороны AC'
и BC'
соответственно параллельны катетам CB
и CA
треугольника ABC
, поэтому при гомотетии с центром C
, переводящей точку M
в A
, точка N
перейдёт в B
, а точка K
— в C'
. Кроме того, точка C
лежит на окружности с диаметром AB
.
Отсюда вытекает следующее построение. Строим равносторонний треугольник ABC'
и полуокружность с диаметром AB
, лежащую с точкой C'
по разные стороны от прямой AB
. Пусть C
— точка пересечения луча C'K
с построенной полуокружностью, M
— точка пересечения с катетом AC
прямой, проведённой через точку K
параллельно AC'
, а N
— точка пересечения с катетом BC
прямой, проведённой через точку K
параллельно BC'
. Тогда KMN
— искомый треугольник.