11132. На сторонах AB
и AC
треугольника ABC
отметили такие точки K
и L
соответственно, что KL\parallel BC
. Прямые, проведённые через точки K
и L
перпендикулярно сторонам AB
и AC
соответственно, пересекаются в точке M
. Докажите, что прямая AM
проходит через центр описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть P
и Q
— середины сторон AB
и CD
соответственно. При гомотетии с центром A
и коэффициентом \frac{AP}{AK}
точка L
переходит в Q
, прямая KM
— в серединный перпендикуляр к стороне AB
, а прямая LM
— в серединный перпендикуляр к стороне AC
. Значит, точка M
пересечения прямых KM
и LM
переходит в точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB
и AC
треугольника ABC
, т. е. в центр O
его описанной окружности. Следовательно, точки A
, M
и O
лежат на одной прямой. Отсюда следует доказываемое утверждение.