11133. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
известно, что AB=a
, BC=b
, CD=c
, AD=d
. Докажите, что S\leqslant\frac{(a+c)(b+d)}{4}
, где S
— площадь четырёхугольника.
Решение. Заметим, что
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin\angle ABC\leqslant\frac{1}{2}ab\cdot1=\frac{ab}{2}.
Аналогично для площадей треугольников ABD
, BCD
и ACD
. Значит,
\frac{(a+c)(b+d)}{4}=\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{2}+\frac{ad}{2}+\frac{bc}{2}+\frac{cd}{2}\right)\geqslant
\geqslant\frac{1}{2}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BCD}+S_{\triangle ACD})=\frac{1}{2}\cdot2S=S.
Следовательно,
S\leqslant\frac{(a+c)(b+d)}{4},
причём равенство имеет место тогда и только тогда, когда ABCD
— прямоугольник.
Примечание. Если периметр выпуклого четырёхугольника равен P
, то S\leqslant\frac{P^{2}}{16}
, причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— квадрат.
Действительно,
S\leqslant\frac{(a+c)(b+d)}{4}=\frac{1}{4}(a+c)(b+d)\leqslant\frac{1}{4}\left(\frac{(a+c)+(b+d)}{2}\right)^{2}=\frac{P^{2}}{16},
причём равенство достигается тогда и только тогда, когда ABCD
— прямоугольник и a+c=b+d
, т. е. когда ABCD
— квадрат.
Источник: Мерзляк А. Г., Поляков В. М. Геометрия. 9 класс. Углублённый уровень. — М.: Вентана-Граф, 2020. — № 5.38, с. 46