11134. Внутри выпуклого четырёхугольника ABCD
существует такая точка O
, что площади треугольников AOB
, BOC
, COD
и AOD
равны. Докажите, что одна из диагоналей делит другую пополам.
Решение. Заметим, что если P
— середина стороны XZ
треугольника XYZ
, а точка O
лежит внутри угла XYZ
и треугольники XOY
и ZOY
равновелики, то точка O
лежит на прямой YP
.
Действительно, из равенств S_{\triangle XOY}=S_{\triangle ZOY}
и S_{\triangle XPY}=S_{\triangle ZPY}
следует, что точки Y
, O
и P
лежат на одной прямой.
Из доказанного утверждения следует, что если F
— середина диагонали BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
, то точка O
лежит и на прямой AF
, и на прямой CF
. Если эти прямые не совпадают, то F
— их единственная общая точка, поэтому O
совпадает с F
, и утверждение доказано. Аналогично для середины E
диагонали AC
.
Если же прямая AF
совпадает с прямой CF
, а прямая BE
— с прямой DE
, то O
— точка пересечения диагоналей четырёхугольника. При этом BO
— медиана треугольника ABC
, так как треугольник AOB
равновелик треугольнику BOC
. Следовательно, O
— середина диагонали BD
. (При этом O
— также середина диагонали AC
, т. е. ABCD
— параллелограмм.)