11138. В треугольнике ABC
проведены биссектрисы AD
и BE
. Найдите величину угла C
, если известно, что AD\cdot BC=BE\cdot AC
и AC\ne BC
.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть AP
и BQ
— высоты треугольника ABC
. Из прямоугольных треугольников APD
и BQE
получаем, что
AP=AD\sin\angle ADC,~BQ=BE\sin\angle AEB.
Тогда
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AP=\frac{1}{2}BC\cdot AD\sin\angle ADB,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BE\sin\angle AEB,
а так как AD\cdot BC=BE\cdot AC
, то \sin\angle ADB=\sin\angle AEB
. Значит, либо \angle ADB=\angle AEB
, либо \angle ADB+\angle AEB=180^{\circ}
.
В первом случае (рис. 1) точки A
, E
, D
, B
лежат на одной окружности. Тогда
\angle BAC=2\angle DAE=2\angle DBE=\angle ABC,
что противоречит условию BC\ne AC
.
Во втором случае (рис. 2) четырёхугольник CDOE
вписанный, причём \angle DOE=90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}
, где \gamma=\angle BAC
(см. задачу 4770), значит,
\gamma+\left(90^{\circ}+\frac{\gamma}{2}\right)=180^{\circ},
откуда находим, что \gamma=60^{\circ}
.
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.55, с. 293