11148. В выпуклом шестиугольнике ABCDEF
противоположные стороны попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE
составляет не менее половины площади шестиугольника;
б) площади треугольников ACE
и BDF
равны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке.
а) Через вершины A
, C
и E
проведём прямые l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
, соответственно параллельные прямым BC
, DE
и FA
. Пусть прямые l_{1}
и l_{2}
пересекаются в точке P
, прямые l_{2}
и l_{3}
— в точке Q
, а прямые l_{1}
и l_{3}
— в точке R
.
Пусть площадь шестиугольника равна S
, а площадь треугольника PQR
равна s
. Диагональ AC
параллелограмма ABCP
разбивает его на два равных треугольника. Аналогично для диагоналей CE
и AE
параллелограммов CDEQ
и AFER
. Значит,
s=S-2(S_{\triangle APC}+S_{\triangle CQE}+S_{\triangle AER})=S-2(S_{\triangle ACE}-s),
откуда
S_{\triangle ACE}=\frac{1}{2}(S+s)\geqslant\frac{1}{2}S.
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что
PQ=|CQ-CP|=|DE-AB|,~QR=|ER-EQ|=|AF-CD|,~
RP=|AP-AR|=|BC-EF|.
Через вершины B
, D
и F
проведём прямые l_{1}'
, l_{2}'
и l_{3}'
, соответственно параллельные прямым AF
, BC
и AB
. Пусть прямые l_{1}'
и l_{2}'
пересекаются в точке R'
, прямые l_{2}'
и l_{3}'
— в точке P'
, прямые l_{1}'
и l_{3}'
— в точке R'
, а площадь треугольника P'Q'R'
равна s'
. Аналогично предыдущему
S_{\triangle BDF}=\frac{1}{2}(S+s'),~
P'R'=|BC-EF|,~P'Q'=|DE-AB|,~Q'R'=|AF-CD|.
Значит, треугольники PQR
и P'Q'R'
равны по трём сторонам, а s'=s
. Следовательно, S_{\triangle BDF}=S_{\triangle ACE}
.