11149. Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF
равны. Докажите, что
|BC-EF|=|DE-AB|=|AF-CD|.
Решение. Все углы выпуклого шестиугольника ABCDEF
равны, поэтому они равны
\frac{180^{\circ}\cdot(6-2)}{6}=120^{\circ}.
Через вершины A
, C
и E
проведём прямые l_{1}
, l_{2}
и l_{3}
, соответственно параллельные прямым BC
, DE
и FA
. Пусть прямые l_{1}
и l_{2}
пересекаются в точке P
, прямые l_{2}
и l_{3}
— в точке Q
, а прямые l_{1}
и l_{3}
— в точке R
. Тогда ABCP
, CDEQ
и AFER
— параллелограммы. Значит,
PQ=|CQ-CP|=|DE-AB|,~QR=|ER-EQ|=|AF-CD|,~
RP=|AP-AR|=|BC-EF|,
а так как треугольник PQR
равносторонний, то PQ=QR=RP
. Следовательно,
|BC-EF|=|DE-AB|=|AF-CD|.