11152. На полуокружности с диаметром AD
отмечены точки B
и C
. Точка M
— середина отрезка BC
. Точка N
такова, что M
— середина отрезка AN
. Докажите, что прямые BC
и DN
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Пусть O
— центр окружности. Точка M
— середина отрезка BC
(рис. 1), поэтому OM\perp BC
(см. задачу 1677). Кроме того, OM
— средняя линия треугольника AND
, поэтому OM\parallel DN
. Следовательно, DN\perp BC
.
Второй способ. Из условия задачи следует, что ABNC
— параллелограмм (рис. 2.). Поэтому NC\parallel AB
и BN\parallel AC
. Точки B
и C
лежат на окружности с диаметром AD
, поэтому углы ACD
и ABD
прямые. Следовательно, DC\perp BN
и DB\perp NC
. Значит, высоты треугольника DNB
лежат на прямых DC
и NC
. Тогда C
— ортоцентр этого треугольника (см. задачу 1256). Поэтому третья высота треугольника DNB
лежит на прямой BC
, т. е. BC\perp DN
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, муниципальный этап, № 4, 9 класс