11152. На полуокружности с диаметром
AD
отмечены точки
B
и
C
. Точка
M
— середина отрезка
BC
. Точка
N
такова, что
M
— середина отрезка
AN
. Докажите, что прямые
BC
и
DN
перпендикулярны.
Решение. Первый способ. Пусть
O
— центр окружности. Точка
M
— середина отрезка
BC
(рис. 1), поэтому
OM\perp BC
(см. задачу 1677). Кроме того,
OM
— средняя линия треугольника
AND
, поэтому
OM\parallel DN
. Следовательно,
DN\perp BC
.
Второй способ. Из условия задачи следует, что
ABNC
— параллелограмм (рис. 2.). Поэтому
NC\parallel AB
и
BN\parallel AC
. Точки
B
и
C
лежат на окружности с диаметром
AD
, поэтому углы
ACD
и
ABD
прямые. Следовательно,
DC\perp BN
и
DB\perp NC
. Значит, высоты треугольника
DNB
лежат на прямых
DC
и
NC
. Тогда
C
— ортоцентр этого треугольника (см. задачу 1256). Поэтому третья высота треугольника
DNB
лежит на прямой
BC
, т. е.
BC\perp DN
.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2019-2020, XLVI, муниципальный этап, № 4, 9 класс