11164. Основание BC
равнобедренного треугольника ABC
равно 1. На прямой, проходящей через точку B
отмечена точка F
, лежащая с вершиной A
по разные стороны от прямой BC
. При этом \angle CBF=\angle BAC
. Найдите длину проекции BE
стороны AB
на прямую BF
.
Ответ. \frac{1}{2}
.
Решение. Обозначим \angle CBF=\angle BAC=\alpha
. Проведём высоту AD
. Она является также биссектрисой и медианой равнобедренного треугольника ABC
. Значит,
BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2},~\angle BAD=\frac{\alpha}{2},~\angle ABD=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2},~
\angle ABE=180^{\circ}-\angle ABC-\angle CBF=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}\right)-\alpha=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle ABD.
Прямоугольные треугольники ABE
и ABD
равны по гипотенузе и острому углу, следовательно,
BE=BD=\frac{1}{2}.