11166. В прямоугольном равнобедренном треугольнике отмечена точка P
пересечения его катета с биссектрисой противолежащего угла. Используя только циркуль какого-то фиксированного раствора, постройте центр вписанной окружности данного треугольника.
Решение. Пусть AB
— гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, AP
— биссектриса треугольника. Укажем способ построения центра вписанной окружности (она же — точка пересечения биссектрис треугольника ABC
) — точки O
.
Опустим перпендикуляр PQ
на AB
и докажем, что четырёхугольник CPQO
ромб. Точка P
лежит на биссектрисе угла BAC
, значит, она равноудалена от сторон угла, т. е. CP=PQ
и
\angle CPA=\angle QPA=67{,}5^{\circ}.
Поскольку \angle BCD=45^{\circ}
, то
\angle COP=180^{\circ}-\angle OCP-\angle OPC=67{,}5^{\circ}.
Отсюда CP=CO
.
В четырёхугольнике CPQO
противоположные стороны CO
и PQ
равны и параллельны, значит, это параллелограмм, а так как соседние стороны CP
и CO
равны, — это ромб.
В прямоугольном треугольнике PBQ
угол QPB
равен 45^{\circ}
, поэтому QB=PQ=PC
. Взяв фиксированный раствор циркуля, равный PC
, из точки B
на прямой AB
строим точку Q
, а затем строим точку O
, как точку пересечения окружностей с центрами Q
и C
и радиусами, равными PC
.
Задача всегда имеет решение, и это решение единственно.