11171. Окружность радиуса \sqrt{3}
касается сторон BC
и AC
треугольника ABC
в точках K
и L
соответственно и пересекает сторону AB
в точках M
и N
(M
лежит между A
и N
) так, что отрезок MK
параллелен AC
, KC=1
, AL=4
. Найдите \angle ACB
, длины отрезков MK
, AB
и площадь треугольника CMN
.
Ответ. \angle ACB=120^{\circ}
, MK=3
, AB=\frac{5\sqrt{7}}{2}
, S_{\triangle CMN}=\frac{45\sqrt{3}}{28}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, CH
— высота треугольника, а \angle BAC=\alpha
и \angle ACB=\gamma
.
Из прямоугольного треугольника CLO
находим, что
\tg\frac{\gamma}{2}=\frac{OL}{CL}=\sqrt{3},~\frac{\gamma}{2}=60^{\circ},~\gamma=120^{\circ}.
Из четырёхугольника OLCK
находим, что
\angle LOK=180^{\circ}-\gamma=180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}.
Поскольку OL\perp AC
и MK\parallel AC
, то OL\perp MK
. Треугольник MOK
равнобедренный, высота в нём является биссектрисой, значит,
\angle MOK=2\angle LOK=120^{\circ}.
Следовательно,
KM=OL\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3.
Поскольку
\angle MOL=\frac{1}{2}\angle MOK=60^{\circ}~\mbox{и}~MO=LO,
треугольник MOL
равносторонний, поэтому ML=OM=\sqrt{3}
. По теореме об угле между касательной хордой
\angle ALM=\frac{1}{2}\angle LOM=\frac{1}{2}\cdot60^{\circ}=30^{\circ}.
По теореме косинусов из треугольника ALM
находим, что
AM=\sqrt{AL^{2}+LM^{2}-2AL\cdot LM\cos30^{\circ}}=\sqrt{16+3-2\cdot4\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{7}.
По теореме синусов \frac{AM}{\sin30^{\circ}}=\frac{AM}{\sin\alpha}
, откуда \sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}
. При этом \alpha\lt90^{\circ}
как острый угол в тупоугольном треугольника ABC
.
Из треугольника ACH
получаем, что
CH=AC\sin\alpha=5\cdot\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}.
По теореме о касательной и секущей AL^{2}=AM\cdot AN
, откуда получаем, что
AN=\frac{16}{\sqrt{7}},~MN=AN-AM=\frac{16}{\sqrt{7}}-\sqrt{7}=\frac{9}{\sqrt{7}}.
Следовательно,
S_{\triangle CMN}=\frac{1}{2}MN\cdot CH=\frac{1}{2}\cdot\frac{9}{\sqrt{7}}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}=\frac{45\sqrt{3}}{28}.
Из параллельности прямых KM
и AC
следует подобие треугольников BKM
и BCA
, причём коэффициент подобия равен \frac{KM}{CA}=\frac{3}{5}
. Значит,
\frac{BM}{BA}=\frac{3}{5},~\frac{BA-\sqrt{7}}{BA}=\frac{3}{5},~AB=\frac{5\sqrt{7}}{2}.
Источник: Журнал «Квант». — 2018, № 9, с. 46, задача 5
Источник: Олимпиада «Физтех» (математическая олимпиада МФТИ). — 2018, задача 5, вариант 1, 11 класс