11172. Дан параллелограмм ABCD
. Окружность радиуса 5 описана около треугольника ABM
, где M
— точка пересечения диагоналей параллелограмма. Эта окружность вторично пересекает луч CB
и отрезок AD
в точках E
и K
соответственно. Длина дуги AE
в два раза больше длины дуги BM
(дуги AE
и BM
не имеют общих точек). Длина отрезка MK
равна 6. Найдите длины отрезков AD
, BK
и периметр треугольника EBM
.
Ответ. AD=10
, BK=\frac{48}{5}
, P_{\triangle EBM}=\frac{84}{5}
.
Решение. Пусть градусные меры дуг BM
и AE
равны 2\alpha
и 4\alpha
соответственно. Тогда
\angle ABE=\frac{1}{2}\cdot4\alpha=2\alpha,~\angle BAM=\frac{1}{2}\cdot2\alpha=\alpha.
Значит,
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ABE=180^{\circ}-2\alpha,
\angle ACB=180^{\circ}-\angle BAC-\angle ABC=\alpha.
В треугольнике ABC
углы при вершинах A
и C
равны, поэтому треугольник ABC
равнобедренный, AB=BC
. Следовательно, ABCD
— ромб. У ромба диагонали перпендикулярны, поэтому угол AMB
прямой и AB
— диаметр окружности. Тогда
\angle BKA=\angle BEA=90^{\circ}.
Поскольку BE\parallel AK
, получаем, что AEBK
— прямоугольник, значит, EK
— также диаметр, а так как AC
— биссектриса угла BAD
(ABCD
— ромб), то
\angle CAD=\angle ACB=\alpha.
Радиус окружности равен 5, значит,
EK=AB=10;~AD=AB=10
(как стороны ромба). Хорды MK
и BM
равны (так как равны соответствующие им дуги), BM=6
. Тогда
AM=\sqrt{AB^{2}-BM^{2}}=8,
и из треугольника ABM
находим, что
\cos\alpha=\frac{AM}{AB}=\frac{4}{5},~\sin\alpha=\frac{BM}{AB}=\frac{3}{5}.
Отсюда
\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha=\frac{24}{25},~\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=\frac{7}{25}.
Тогда
BK=AB\sin2\alpha=10\cdot\frac{24}{25}=\frac{48}{5},
BE=AB\cos2\alpha=10\cdot\frac{7}{25}=\frac{14}{5}.
а так как EK
— диаметр, то
\angle EMK=90^{\circ},EM=\sqrt{EK^{2}-KM^{2}}=8.
Следовательно, периметр треугольника EBM
равен
6+8+\frac{14}{5}=\frac{84}{5}.