11176. Пусть AH
— высота, BL
— биссектриса, CM
— медиана треугольника ABC
.
а) Докажите, что AH
, BL
и CM
пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда LH\parallel AB
.
б) Докажите, что LH\parallel AB
тогда и только тогда, когда \frac{\sin\angle A}{\cos\angle C}=\tg\angle B
.
Решение. а) В этом пункте L
и H
— произвольные (не обязательно совпадающие с основаниями биссектрисы и высоты) внутренние точки отрезков AC
и BC
соответственно. Пусть LH\parallel AB
, N
— точка пересечения MO
и LH
. Тогда
\frac{LN}{MB}=\frac{NO}{OM}=\frac{NH}{AM}~\Rightarrow~LN=NH.
Значит, N
лежит на медиане CM
, откуда и O
лежит на CM
.
Пусть O
лежит на CM
. Проведём LH'\parallel AB
. По доказанному ранее отрезки BL
и AH'
пересекаются на медиане CM
, поэтому точка H'
совпадает с H
. Таким образом, LH\parallel AB
.
б) Обозначим BC=a
, AC=b
, AB=c
. Поскольку AH
— высота, BL
— биссектриса, условие LH\parallel AB
, или \frac{BH}{CH}=\frac{AL}{CL}
, можно переписать в виде
\frac{c\cos\angle B}{b\cos\angle C}=\frac{c}{a},
откуда \cos\angle C=\frac{a}{b}\cos\angle B
. По теореме синусов \frac{a}{b}=\frac{\sin\angle A}{\sin\angle B}
, откуда \sin\angle A=\frac{a}{b}\sin\angle B
. Следовательно,
\frac{LH}{AB}~\Leftrightarrow~\frac{\sin\angle A}{\cos\angle C}=\frac{\frac{a}{b}\sin\angle B}{\frac{a}{b}\cos\angle B}=\tg\angle B.
Автор: Полянский А. А.
Источник: Польские математические олимпиады. — 1961, задача 5
Источник: Страшевич С., Бровкин Е. Польские математические олимпиады. — М.: Мир, 1978. — № 77, с. 21
Источник: Журнал «Квант». — 2005, № 3, с. 17, М1952; 2005, № 6, с. 16, М1952
Источник: Задачник «Кванта». — 2005, М1952