11177. На гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
отмечена точка D
. Полуокружность с диаметром AD
касается катета BC
в точке M
. Докажите, что AM
— биссектриса угла BAC
.
Решение. Обозначим \angle BAM=\alpha
. Из теоремы об угле между касательной и хордой
\angle BMD=\angle DAM=\angle BAM=\alpha.
Точка M
лежит на окружности с диаметром AD
, поэтому \angle AMD=90^{\circ}
. Значит,
\angle AMC=180^{\circ}-\angle BMD-\angle AMD=180^{\circ}-\alpha-90^{\circ}=90^{\circ}-\alpha,
поэтому
\angle CAM=90^{\circ}-\angle AMC=90^{\circ}-(90^{\circ}-\alpha)=\alpha=\angle BAM.
Следовательно, луч AM
— биссектриса угла BAC
.
Автор: Произволов В. В.
Источник: Журнал «Квант». — 2004, № 3, с. 28, задача 3
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2004, задача 3