11178. Даны равные прямоугольники ABCD
и DEFG
с общей вершиной D
, причём вершина G
прямоугольника DEFG
лежит на стороне CD
прямоугольника ABCD
. Прямые AD
и BG
пересекаются в точке M
, а отрезки AB
и FG
— в точке N
. Докажите перпендикулярность прямых MN
и BE
.
Решение. Пусть прямые EN
и BM
пересекаются в точке K
. Из равенств FG=AB
и NG=AD=EF
получаем, что BN=NF
и NG=AN
, значит, прямоугольные треугольники BNG
и NFE
равны по двум катетам.
Обозначим \angle GBN=\angle ENF=\alpha
. Тогда
\angle GNK=\angle ENF=\alpha,~\angle BNK=90^{\circ}-\angle GNK=90^{\circ}-\alpha,
поэтому
\angle BKN=180^{\circ}-\angle GBN-\angle BNK=180^{\circ}-\alpha-(90^{\circ}-\alpha)=90^{\circ},
т. е. EK
— высота треугольника BEM
, а так как BA
— тоже высота этого треугольника, то N
— точка пересечения его высот. Следовательно MN\perp BE
.
Автор: Калинин Д. А.
Источник: Журнал «Квант». — 2004, № 3, с. 29, задача 12
Источник: Летний турнир им. А. П. Савина «Математика 6—8». — 2004, задача 12
Источник: Грибалко А. В., Медников Л. Э., Шаповалов А. В. XIX—XX турниры математических боёв имени А. П. Савина. — М.: МЦНМО, 2019. — № 326, с. 44