11181. Окружности S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
попарно касаются друг друга внешним образом. Окружности S_{1}
и S_{2}
имеют одинаковые радиусы и касаются в точке B
. Окружности S_{1}
и S_{3}
касаются в точке A
. Окружность S_{2}
касается S_{3}
в точке C
. Прямая AB
вторично пересекает S_{2}
в точке D
. Прямая DC
вторично пересекает S_{3}
в точке F
. Прямая FA
пересекает вторично S_{1}
в точке N
. Прямая AC
вторично пересекает S_{2}
в точке L
. Докажите,что четырёхугольник DNAL
— ромб.
Решение. Пусть O_{1}
, O_{2}
, O_{3}
— центры окружностей S_{1}
, S_{2}
, S_{3}
соответственно. Легко видеть, что треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
равнобедренный. Поэтому \angle O_{2}O_{1}O_{3}=\angle O_{1}O_{2}O_{3}
и AB=BC
, поскольку радиусы окружностей S_{1}
и S_{2}
равны.
Пусть KM
— общая внутренняя касательная окружностей S_{1}
и S_{2}
в точке B
(B
между K
и M
, M
и F
по одну сторону от прямой AC
). Используя равенство радиусов окружностей S_{1}
и S_{2}
теорему об угле между касательной и хордой, получим, что
\frac{1}{2}\smile AB=\angle ABM=\angle KBD=\frac{1}{2}\smile DB.
Таким образом, AB=BD=BC
и треугольник ADC
прямоугольный. Поэтому
\angle ACF=\angle DCL=90^{\circ},
AF
— диаметр окружности S_{3}
, а DL
— диаметр окружности S_{2}
. Тогда AN
— диаметр окружности S_{1}
и AN=DL
. Поскольку
\angle F=\angle O_{3}CF=\angle DCO_{2}=\angle CDO_{2},
то DO_{2}\parallel O_{3}F
, т. е. AN\parallel DL
. Следовательно, DNAL
— параллелограмм (противоположные стороны AN
и DL
равны и параллельны).
Поскольку треугольник O_{1}AB
равнобедренный и DN\parallel AL
, то DN\perp CD
и
\angle NAB=\angle O_{1}BA=90^{\circ}-\angle ABM=90^{\circ}-\frac{1}{2}\smile AB=
=90^{\circ}-\smile BC=90^{\circ}-\angle BDC=\angle NDB,
Поэтому треугольник DNA
равнобедренный и NA=ND
. Следовательно, DNAL
— ромб.