11183. Могут ли высота, медиана и биссектриса, проведённые из разных вершин треугольника, пересекаясь внутри этого треугольника, образовать правильный треугольник?
Ответ. Не могут.
Решение. Предположим, что AH
— высота, CG
— медиана, BK
— биссектриса треугольника ABC
, причём отрезки AH
, CG
и BK
, пересекаясь, образуют правильный треугольник DEF
. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке (отрезки AH
и CG
пересекаются в точке D
, отрезки AH
и BK
— в точке F
, отрезки CG
и BK
— в точке E
). Поскольку
\angle EFD=60^{\circ}=\angle BFH~\mbox{и}~AH\perp BC,
то
\angle FBC=\angle FBA=30^{\circ},~\angle ABC=60^{\circ}.
В треугольнике EGB
известно, что \angle BEG=60^{\circ}
и \angle GBE=30^{\circ}
, поэтому \angle EGB=90^{\circ}
, CG\perp AB
. Треугольник ABC
равнобедренный, так как CG
— его медиана и высота. Значит, \angle A=\angle B=60^{\circ}
, но тогда и \angle C=60^{\circ}
, т. е. треугольник ABC
правильный. Однако в правильном треугольнике все замечательные отрезки (медианы они же биссектрисы, они же высоты) пересекаются в одной точке и не могут образовать равносторонний треугольник. К такому же противоречию можно прийти и во всех остальных возможных случаях.